Si consideri il processo MA ordine infinito definito da yt epsilont un epsilon epsilon, dove a è una costante e il epsilont s sono iid N 0, v variable. What casuale è il modo migliore per dimostrare che YT è non stazionaria so che ho bisogno di guardare alle radici caratteristici delle caratteristiche polinomiale e poi giudicare se essi sono al di fuori del cerchio unitario, ma qual è il modo migliore per affrontare questo problema Dovrei provare a riscrivere il processo di ordine mA infinito come un processo d'ordine AR finita o è più facile lavorare MA process. asked 19 ottobre 13 ad 21 11.A breve introduzione al Modern Time Series. Definition una serie storica è una funzione xt casuale di un t argomento in una serie T in altre parole, una serie storica è una famiglia di variabili casuali x T-1 xtxt 1 corrispondenti a tutti gli elementi del T set, dove si suppone che T essere un numerabile, infinita set. Definition un osservata tempo serie tte T o T è considerata come una parte di una realizzazione di un caso funzione xt un insieme infinito di possibili realizzazioni che potrebbero sono stati osservati viene chiamato un ensemble. To mettere le cose in modo più rigoroso, la serie storica o la funzione casuale è una XW funzione reale, t delle due variabili w e t, dove wW e t T Se fissiamo il valore di w abbiamo un vero XTW funzione del tempo t, che è una realizzazione della serie temporale Se fissiamo il valore di t, allora abbiamo un XWT variabile casuale Per un dato punto nel tempo vi è un distribuzione di probabilità su x quindi funzione XW casuale, t può essere considerato sia per una famiglia di variabili casuali o come una famiglia di realizations. Definition definiamo la funzione di distribuzione della variabile casuale w proposta t 0 come P OXX Analogamente possiamo definire distribuzione congiunta per n punti variables. The casuali che contraddistinguono l'analisi di serie temporali di analisi statistiche ordinarie sono i seguenti 1 la dipendenza tra osservazioni in diversi punti cronologici in tempo gioca un ruolo essenziale in altre parole, l'ordine delle osservazioni è importante per l'analisi statistica ordinaria si presume che le osservazioni sono tra loro indipendenti 2 il dominio di t è infinita 3 dobbiamo fare una deduzione da una realizzazione la realizzazione della variabile casuale può essere osservato solo una volta in ogni punto nel tempo All'analisi multivariata abbiamo molte osservazioni su un numero finito di variabili Questa differenza critica richiede l'assunzione di stationarity. Definition la funzione xt casuale è detto essere rigorosamente stazionaria se tutte le funzioni di distribuzione di dimensione finita definire xt rimangono gli stessi anche se l'intero gruppo di punti t 1 t 2 tn è spostato lungo l'asse temporale Cioè, if. for qualsiasi intero t 1 t 2 tn e k Graficamente, si potrebbe immaginare la realizzazione di una serie strettamente stazionaria come avente non solo allo stesso livello in due intervalli differenti, ma anche la stessa funzione di distribuzione , fino ai parametri che definiscono l'assunzione di stazionarietà rende la nostra vita più semplice e meno costosa senza stazionarietà avremmo dovuto provare il processo di frequente ad ogni tempo, al fine di costruire una caratterizzazione delle funzioni di distribuzione nella stazionarietà precedente definizione significa che possiamo limitare la nostra attenzione ad alcune delle più semplici funzioni numeriche, cioè i momenti delle distribuzioni i momenti centrali sono date, per definizione, i il valore medio della serie storica t è cioè il primo momento dell'ordine ii la funzione autocovarianza di t is. ie il secondo momento sulla media Se ts allora si ha la varianza di xt che useremo per indicare la autocovarianza di una serie stazionaria, dove k denota la differenza tra t e s III la funzione di autocorrelazione ACF di t is. We sarà utilizzare per indicare l'autocorrelazione di una serie stazionaria, dove k denota la differenza tra t e s IV il parziale autocorrelazione PACF f kk è la correlazione tra ZT e ZTK dopo aver rimosso la loro dipendenza lineare reciproca sulle variabili intervenienti zt 1 zt zt 2 K - 1 Un modo semplice per calcolare l'autocorrelazione parziale tra ZT e ZTK è quello di eseguire i due regressions. then calcolare la correlazione tra i due vettori residuo o, dopo aver misurato le variabili come deviazioni dalla loro mezzi, l'autocorrelazione parziale può essere trovato come il LS coefficiente di regressione sul zt nel model. where il punto sopra la variabile indica che si è misurato come una deviazione dalla sua media v le equazioni di Yule-Walker forniscono un importante rapporto tra le autocorrelazioni parziali e le autocorrelazioni Moltiplicare entrambi i lati dell'equazione 10 da ZT kj e prendere aspettative Questa operazione ci dà la seguente equazione differenza nel autocovariances. or, in termini di autocorrelations. This apparentemente semplice rappresentazione è in realtà un risultato potente Vale a dire, per j 1,2 k possiamo scrivere l'intero sistema di equazioni, Conosciuta come la algebra lineare Yule-Walker equations. From si sa che la matrice di RS è di rango pieno Pertanto è possibile applicare regola Cramer s successivamente per k 1,2 per risolvere il sistema per le autocorrelazioni parziali i primi tre siamo avere tre risultati importanti strettamente stazionario implicazione series. The è che possiamo usare qualsiasi realizzazione finita della sequenza per stimare il secondo mezzo se t è strettamente fermo e e t 2 then. The implicazione è che l'autocovarianza dipende solo dalla differenza tra t e s, non il loro punto cronologico in tempo potremmo usare qualsiasi coppia di intervalli nel calcolo del autocovarianza fintanto che il tempo tra loro era costante e si può utilizzare qualsiasi realizzazione finita dei dati per stimare i autocovarianze terzo luogo, l'autocorrelazione funzione nel caso di stretta stazionarietà è dato by. The implicazione è che l'autocorrelazione dipende solo dalla differenza tra t e s pure, e di nuovo può essere stimato da qualsiasi realizzazione finita del data. If nostro obiettivo è stimare parametri che sono descrittivi delle possibili realizzazioni della serie tempo, allora forse rigorosa stazionarietà è troppo restrittiva ad esempio, se la media e covarianze di xt sono costanti e indipendenti dal punto cronologico nel tempo, allora forse non è importante per noi che il funzione di distribuzione sia lo stesso per diverso tempo intervals. Definition Una funzione casuale è stazionario in senso lato o debolmente stazionario, o stazionario in senso Khinchin s, o covarianza stazionario se m 1 tm e m 11 t, s. Strict stazionarietà non lo fa in per sé implica debole stazionarietà stazionarietà debole non implica rigoroso stazionarietà stazionarietà rigoroso con e t 2 implica deboli teoremi stationarity. Ergodic riguardano la questione delle condizioni necessarie e sufficienti per fare inferenza da una sola realizzazione di una serie storica in sostanza si riduce a assumendo stationarity. Theorem debole Se t è debolmente stazionario con media m e la funzione di covarianza, then. That è, per ogni data e 0 e h 0 esiste un certo numero di T o tale che per ogni TT o se e solo if. This necessario e condizione sufficiente è che i autocovarianze spengono, nel qual caso la media campionaria è uno stimatore consistente per la popolazione mean. Corollary Se t è debolmente stazionario e tkxt 2 per ogni t, ed e tkxtxtskxts è indipendente t per ogni intero s, then. if e solo se where. A conseguenza del corollario è l'ipotesi che xtxtk è debolmente stazionario teorema ergodico non è altro che una legge dei grandi numeri, quando le osservazioni sono correlated. One potrebbe chiedere a questo punto circa le implicazioni pratiche di stazionarietà l'applicazione più comune di utilizzo di tecniche di serie temporali è in modellazione dei dati macroeconomici, sia teorico e atheoretic Come esempio del primo, si potrebbe avere un modello di acceleratore multiplier - per il modello da fermo, i parametri devono avere certi valori a Test del modello è quindi quello di raccogliere i dati rilevanti e stimare i parametri Se le stime non sono coerenti con la stazionarietà, allora si deve ripensare sia il modello teorico o il modello statisticla, o both. We ora hanno abbastanza macchinari per cominciare a parlare la modellazione dei dati univariata serie storiche ci sono quattro passaggi nei modelli di edifici processo 1 da conoscenze teoriche e o esperienziale 2 modelli che identificano in base ai dati osservati serie 3 montaggio dei modelli di stima dei parametri del modello s 4 Verifica del modello Se nel quarto passo non siamo soddisfatti che tornare al punto uno il processo è iterativo fino a nuovo controllo e respecification rendimenti nessun ulteriore miglioramento dei risultati Diagrammatically. Definition Alcune operazioni semplici sono i seguenti il backshift operatore Bx tx t-1 l'operatore in avanti Fx txt 1 differenza operatore 1 - B xtxt - x t-1 l'operatore differenza comporta in maniera coerente con la costante in una serie infinita Cioè, la sua inversa è il limite di una somma infinita Vale a dire, -1 1-B -1 1 1- B 1 BB 2 l'integrazione operatore S -1 Dal momento che è l'inverso dell'operatore differenza, l'operatore integrare serve a costruire l'edificio sum. MODEL In questa sezione vi proponiamo una breve rassegna del tipo più comune di modelli di serie tempo sulle base di uno s conoscenza del processo di generazione dei dati si sceglie una classe di modelli per l'identificazione e la stima delle possibilità che follow. Definition supporre che Ex tm è indipendente da t un modello di tale as. with le caratteristiche che viene chiamato il modello autoregressivo di ordine p, AR p. Definition Se un tempo dipendente processo stocastico t soddisfa variabile allora t è detto di soddisfare la proprietà di Markov sul lato sinistro l'aspettativa è condizionata sulla storia infinita del xt sul RHS è condizionato solo su parte della storia da le definizioni, un modello p AR è visto per soddisfare la proprietà di Markov Utilizzo dell'operatore backshift possiamo scrivere il nostro modello AR as. Theorem una condizione necessaria e sufficiente per il modello p AR essere stazionario è che tutte le radici del polinomio. si trovano all'esterno dell'unità circle. Example 1 si consideri il AR 1 l'unica radice di 1 - F 1 B 0 è B 1 f 1 la condizione per la stazionarietà richiede that. If quindi apparirà la serie osservata molto frenetico E g consider. in cui il termine rumore bianco ha una distribuzione normale con una media nulla e varianza di uno le osservazioni commutano segno con quasi tutti observation. If, d'altra parte, la serie osservata sarà molto smoother. In questa serie un'osservazione tende ad essere superiore 0 se il suo predecessore era sopra lo zero la varianza di eT è sE 2 per ogni t la varianza di xt quando è media, è data zero dal momento che la serie è stazionaria possiamo scrivere Hence. The funzione autocovarianza di un AR 1 serie è, supponendo senza perdita di generalità m 0.To vedere che cosa questo assomiglia in termini di parametri AR ci si avvarrà del fatto che possiamo scrivere come xt follows. Multiplying da x tk e prendendo expectations. Note che i autocovarianze muoiono come k cresce la funzione di autocorrelazione è la autocovarianza divisa per la varianza del termine rumore bianco o, usando il precedente formule Yule-Walker per le autocorrelazioni parziali che have. For un AR 1 le autocorrelazioni muoiono in modo esponenziale e le autocorrelazioni parziali mostrano un picco a un lag e sono pari a zero thereafter. Example 2 si consideri la AR 2 il polinomio associato nell'operatore di ritardo è. Le radici è stato trovato con la formula quadratica le radici are. When le radici sono reali e di conseguenza la serie diminuirà in maniera esponenziale in risposta ad uno shock quando le radici sono complesse e apparirà la serie come un segno smorzato wave. The stazionarietà teorema impone le seguenti condizioni sul autocovarianza AR coefficients. The per un processo di AR 2, con media zero, is. Dividing attraverso la varianza xt dà la funzione di autocorrelazione dal momento che possiamo scrivere Allo stesso modo per il secondo e terzo autocorrelations. The altri autocorrelazioni sono risolti per ricorsivamente il loro modello è regolato dalle radici della seconda differenza ordine lineare equation. If le radici sono reali allora le autocorrelazioni volontà diminuire in modo esponenziale Quando le radici sono complesse le autocorrelazioni apparirà come una sinusoide smorzata Utilizzando le equazioni di Yule-Walker, le autocorrelazioni parziali are. Again, le autocorrelazioni muoiono lentamente l'autocorrelazione parziale d'altra parte è abbastanza distintivo ha picchi in uno e due ritardi e è zero thereafter. Theorem Se xt è un processo p AR stazionario, allora può essere scritto equivalentemente come un modello lineare filtro che è, il polinomio nell'operatore backshift può essere invertita e l'AR p scritta come una media mobile di ordine infinito instead. Example ZT Supponiamo che è un processo AR 1 con media zero Ciò che è vero per il periodo corrente deve essere vero anche per i periodi precedenti così per sostituzione ricorsiva possiamo write. Square entrambi i lati e prendere expectations. the lato destro svanisce come k da f 1 Pertanto la somma converge a ZT in media quadratica possiamo riscrivere il modello p AR come un filtro lineare che sappiamo essere stationary. The autocorrelazione Funzione e autocorrelazione parziale Generalmente Supponiamo che una serie stazionaria ZT con media zero è noto a essere autoregressivo la funzione di autocorrelazione di un AR p si ottiene prendendo aspettative of. and dividendo per la varianza di Z t. This ci dice che rk è una combinazione lineare delle autocorrelazioni precedenti possiamo usare questo nell'applicazione regola Cramer s per i nella soluzione per f kk in particolare possiamo vedere che questa dipendenza lineare causerà f kk 0 per kp questa caratteristica distintiva della serie autoregressivo sarà molto utile quando si tratta di identificazione di un series. If sconosciuta si hanno o MathCAD o MathCAD Explorer poi si può sperimentare interactivley con alcune fo le idee AR p presentate modelle here. Moving medio prendere in considerazione un modello dinamico in cui la serie di interessi dipende solo una parte della storia del termine rumore bianco Schematicamente questo potrebbe essere rappresentato as. Definition Supponiamo che a è una sequenza non correlata di variabili aleatorie iid con media zero e varianza finita Poi un movimento processo media di ordine q, mA q, è dato by. Theorem un processo di media mobile è sempre prova stazionaria Piuttosto che iniziare con una prova generale lo faremo per un caso specifico Supponiamo che ZT è MA 1 poi, naturalmente, a ha media zero e varianza finita la media di ZT è sempre zero sarà data la autocovarianze by. You può vedere che la media della variabile casuale non dipende dal tempo in qualsiasi modo si può anche vedere che il autocovarianza dipende solo dalla s offset, non su dove nella serie iniziamo possiamo dimostrare lo stesso risultato, più in generale partendo da, che ha l'alternativa in movimento rappresentazione media esaminare in primo luogo la varianza di Z t. By sostituzione ricorsiva si può dimostrare che questo è uguale to. The somma sappiamo essere una serie convergente così la varianza è finita ed è indipendente dal tempo le covarianze sono, per example. You può anche vedere che le covarianze auto dipendono solo sui punti relativi nel tempo, non è il punto cronologico nel tempo la nostra conclusione da tutto questo è che un processo MA è stazionario per il processo generale MA q la funzione di autocorrelazione è dato by. The funzione di autocorrelazione parziale morirà senza intoppi si può vedere questo invertendo il processo per ottenere un AR process. If si hanno o MathCAD o MathCAD Explorer, allora si può sperimentare in modo interattivo con alcune delle idee presentate MA q here. Mixed Autoregressive - media mobile Models. Definition Supponiamo che a è una sequenza non correlata di IID casuale variabili con media nulla e varianza finita Poi un autoregressivo, spostando processo media di ordine p, q, ARMA p, q, è dato by. The radici del gestore autoregressivo devono tutti si trovano al di fuori del cerchio unitario il numero di incognite è pq 2 il p e q sono evidenti il 2 include il livello del processo, m e la varianza del termine rumore bianco, sa 2.Suppose che si combinano nostri AR e MA rappresentazioni modo che il modello is. and i coefficienti sono normalizzati in modo che bo 1 poi questa rappresentazione è chiamato un ARMA p, q se le radici di 1 si trovano tutti al di fuori del cerchio unitario Supponiamo che il YT sono misurati come deviazioni dalla media in modo che possiamo cadere AO from. if allora la funzione autocovarianza è derivato poi il JQ termini mA abbandonano in attesa di give. That è, la funzione autocovarianza si presenta come un tipico AR per ritardi dopo q muoiono senza intoppi dopo q, ma non possiamo dire come 1,2,, q cercherà possiamo anche esaminare la PACF per questa classe di modello il modello può essere scritto as. We può scrivere questo come un inf MA process. which suggerisce che il PACF s morire lentamente con un po 'di aritmetica abbiamo potuto dimostrare che questo avviene solo dopo le prime punte p contribuito da AR legge part. Empirical In realtà, una serie temporale stazionaria potrebbe essere rappresentata da p 2 e q 2 Se la tua azienda è quello di fornire una buona approssimazione alla realtà e bontà di adattamento è il vostro criterio allora un modello prodigo è preferito Se il vostro interesse è predittiva efficienza allora il modello è parsimoniosa preferred. Experiment con le idee ARMA di cui sopra con un MathCAD worksheet. Autoregressive Integrare Moving filtro AR filtro media Models. MA Integrare filter. Sometimes il processo, o di una serie, stiamo cercando di modella non è fermo a livelli Ma potrebbe essere in stazionario, per esempio, differenze prime Cioè, nella sua forma originale i autocovarianze per la serie potrebbe non essere indipendente dal punto cronologico in tempo Tuttavia, se si costruisce una nuova serie che le prime differenze della serie originale , questa nuova serie soddisfa la definizione di stazionarietà questo è spesso il caso con dati economici che è altamente trended. Definition Supponiamo che ZT non è stazionario ma zt - z t-1 soddisfa la definizione di stazionarietà Inoltre, a, il termine rumore bianco ha media e varianza finita possiamo scrivere i as. This modello è denominato un ARIMA p, d, q modello p identifica l'ordine dell'operatore AR, d identifica l'alimentazione q identifica l'ordine dell'operatore MA Se le radici di f B si trovano al di fuori del cerchio unitario allora possiamo riscrivere la p ARIMA, d, q come un filtro lineare I e che può essere scritto come un mA si riserva la discussione della rilevazione di radici unitarie per un'altra parte della lezione notes. Consider un sistema dinamico con xt come una serie di input e yt come una serie di uscita Schematicamente abbiamo ROM. Queste modelli sono un'analogia discreto di equazioni differenziali lineari supponiamo il seguente relation. where b indica un richiamo ritardo puro che 1-B con questa sostituzione del modello può essere written. If il polinomio coefficiente YT può essere invertita, allora il modello può essere scritto as. VB è conosciuta come la funzione di risposta all'impulso Ci si troverà di fronte questa terminologia di nuovo nel nostro tardi discussione del vettore autoregressivo cointegrazione e correzione degli errori models. Model IDENTIFICAZIONE Avendo deciso su una classe di modelli, si deve ora identificare l'ordine dei processi di generazione dei dati Cioè, si deve fare congetture migliori per l'ordine dei processi AR e MA guidare la serie stazionaria una serie stazionaria viene completamente caratterizzato dal la sua media e autocovarianze per motivi di analisi che di solito lavoriamo con le autocorrelazioni e autocorrelazioni parziali Questi due strumenti di base hanno modelli unici per stazionaria AR e MA elabora si potrebbe calcolare le stime di esempio delle funzioni di autocorrelazione autocorrelazione e parziali e confrontarle con i risultati tabulati per modelli standard campione. Sample autocovarianza Function. Sample autocorrelazione function. The autocorrelazioni parziali saranno be. Using le autocorrelazioni e autocorrelazioni parziali è abbastanza semplice in linea di principio Supponiamo di avere un ZT serie con media zero, che è AR 1 Se dovessimo eseguire la regressione di zt 2 su zt 1 e zt ci si aspetterebbe di trovare che il coefficiente di ZT non è stato diverso da zero dal momento che questo autocorrelazione parziale dovrebbe essere pari a zero D'altra parte, le autocorrelazioni di questa serie dovrebbe essere in diminuzione esponenziale per aumentare ritardi vedere la AR 1 Nell'esempio precedente Supponiamo che la serie è in realtà una media mobile l'autocorrelazione dovrebbe essere zero ovunque ma al primo ritardo l'autocorrelazione parziale deve morire fuori in modo esponenziale anche dal nostro romp molto superficiale attraverso le basi di analisi delle serie temporali è evidente che c'è è una dualità tra processi AR e MA Questa dualità può essere riassunta nei seguenti media table. Moving e models. As livellamento esponenziale il primo passo di andare oltre modelli medi, modelli random walk, e modelli di tendenza lineare, i modelli non stagionali e le tendenze possono essere estrapolati utilizzando una media mobile oppure lisciatura modello l'assunzione di base dietro compensazione e livellamento modelli è che la serie temporale è localmente stazionario con una lentamente variabile medio quindi, prendiamo in media locale movimento per stimare il valore corrente della media e quindi utilizzare tale come la previsione per il prossimo futuro Questo può essere considerato come un compromesso tra il modello media e la random walk-senza-drift model-la stessa strategia può essere utilizzata per stimare e estrapolare una tendenza locale una media mobile viene spesso chiamato lisciato versione della serie originale perché media breve termine ha l'effetto di appianare le asperità della serie originale regolando il grado di lisciatura della larghezza della media mobile, possiamo sperare di colpire certo equilibrio ottimale tra le prestazioni del media e modelli random walk il più semplice tipo di modello di calcolo della media è the. Simple altrettanto ponderato Moving Average. The meteo per il valore di Y al tempo t 1 che viene fatta al tempo t uguale alla media semplice delle più recenti osservazioni m. Qui e altrove userò il simbolo Y-cappello a riposo per una previsione della serie storica Y fatta al più presto, prima possibile da un dato modello Questa media è centrato al periodo t-m 1 2, il che implica che la stima di la media locali tenderà a restare indietro il vero valore della media locale, di circa m 1 2 periodi così, diciamo l'età media dei dati nella media mobile semplice è m 1 2 rispetto al periodo per il quale è calcolata la previsione questa è la quantità di tempo entro il quale le previsioni tenderanno a restare indietro punti di svolta nei dati, ad esempio, se si sta una media degli ultimi 5 valori, le previsioni saranno circa 3 periodi in ritardo nel rispondere ai punti di svolta si noti che, se m 1, il semplice modello a media mobile SMA è equivalente al modello random walk senza crescita Se m è molto grande paragonabile alla lunghezza del periodo di stima, il modello SMA è equivalente al modello medio Come con qualsiasi parametro di un modello di previsione, è consuetudine per regolare il valore di k per ottenere il migliore adattamento ai dati, cioè gli errori di previsione piccoli sulla average. Here è un esempio di una serie che sembra mostrare fluttuazioni casuali intorno un lentamente variabile medio prima cosa, s cercare di montare con un modello casuale, che è equivalente a una media mobile semplice di 1 term. The modello random walk risponde molto velocemente alle variazioni della serie, ma così facendo raccoglie gran parte del rumore nei dati fluttuazioni casuali come così come il segnale della media locale Se invece cerchiamo una semplice media mobile di 5 termini, otteniamo errori di un più agevole dall'aspetto set di forecasts. The 5 termine semplice movimento rese medie significativamente inferiori rispetto al modello random walk in questo caso la media l'età dei dati in questa previsione è di 3 5 1 2, in modo che essa tende a restare indietro punti di svolta di circa tre periodi per esempio, una flessione sembra essersi verificato in periodo di 21, ma le previsioni non girare intorno fino a diversi periodi tardi. Notice che le previsioni a lungo termine dal modello SMA sono una retta orizzontale, proprio come nel modello random walk Quindi, il modello SMA presuppone che non vi è alcuna tendenza nei dati Tuttavia, mentre le previsioni del modello random walk sono semplicemente uguale all'ultimo valore osservato, le previsioni del modello di SMA sono pari ad una media ponderata degli ultimi limiti di confidenza valori. le calcolato Statgraphics per le previsioni a lungo termine della media mobile semplice non si ottiene più ampio, come la previsione aumenta HORIZON questo ovviamente non è corretto Purtroppo, non vi è alcuna teoria statistica di fondo che ci dice come gli intervalli di confidenza deve ampliare per questo modello Tuttavia, non è troppo difficile da calcolare le stime empiriche dei limiti di confidenza per le previsioni a più lungo orizzonte esempio, è possibile impostare un foglio di calcolo in cui il modello SMA sarebbe stato utilizzato per prevedere 2 passi avanti, 3 passi avanti, ecc all'interno del campione di dati storici È quindi possibile calcolare le deviazioni standard campione degli errori in ogni orizzonte di previsione, e quindi costruire la fiducia intervalli per le previsioni a lungo termine aggiungendo e sottraendo multipli del standard appropriato deviation. If cerchiamo una media del 9 termine semplice movimento, si ottengono le previsioni ancor più agevole e di un effect. The ritardo età media è ora 5 periodi 9 1 2 Se prendiamo una media mobile 19-termine, l'età media aumenta a 10.Notice che, in effetti, le previsioni sono ora in ritardo punti di svolta di circa il 10 periods. Which quantità di smoothing è meglio per questa serie Ecco una tabella che mette a confronto le statistiche di errore, tra cui anche un 3-termine average. Model C, la media mobile a 5-termine, i rendimenti il valore più basso di RMSE da un piccolo margine sopra le medie di 3 e 9 termine termine, e le loro altre statistiche sono quasi identici Così, tra i modelli con le statistiche di errore molto simili, possiamo scegliere se avremmo preferito un po 'più di risposta o un po' più scorrevolezza nelle previsioni Ritorna all'inizio page. Brown s livellamento esponenziale semplice esponenzialmente ponderata movimento average. The semplice modello di media mobile sopra descritto ha la proprietà indesiderabile che tratta le ultime osservazioni k ugualmente e completamente ignora tutte le osservazioni che precedono Intuitivamente, i dati del passato dovrebbero essere scontati in maniera più graduale - per esempio, il più recente osservazione dovrebbero avere un po 'più peso di 2 più recente, e il 2 ° più recente dovrebbe avere un po 'più di peso rispetto al 3 ° più recente, e così via il semplice levigatura modello esponenziale SES compie this. Let denotare un smoothing un numero costante tra 0 e 1 un modo di scrivere il modello è quello di definire una serie L, che rappresenta il valore medio cioè locale attuale livello della serie come sulla base dei dati fino ad oggi il valore di L al momento t è calcolata in modo ricorsivo dal proprio valore precedente come this. Thus, il valore corrente è un lisciato interpolazione tra il valore livellato precedente e l'osservazione corrente, dove controlla la vicinanza del valore interpolato alla osservazione più recente la previsione per il periodo successivo è semplicemente la corrente livellato value. Equivalently, possiamo esprimere la prossima meteo direttamente in termini di precedente previsioni e osservazioni precedenti, in una qualsiasi delle seguenti versioni equivalenti nella prima versione, la previsione è una interpolazione tra previsione precedente e observation. In precedente la seconda versione, la prossima previsione è ottenuta regolando la previsione precedente nella direzione della precedente errore da un frazionale amount. is l'errore commesso al tempo t Nella terza versione, la previsione è di una media mobile ponderata esponenzialmente cioè scontato con la versione fattore di sconto 1. interpolazione della formula di previsione è il più semplice da usare se si sta implementando la modello su un foglio si inserisce in una singola cellula e contiene riferimenti di cella che punta alla previsione precedente, la precedente osservazione, e la cella in cui il valore di è stored. Note che se 1, il modello SES è equivalente ad un modello random walk senza Se la crescita 0, il modello SES è equivalente al modello medio, assumendo che il primo valore livellato è impostato uguale al rendimento medio Inizio sinistra. L età media dei dati nelle previsioni semplice esponenziale-levigante è 1, relative il periodo per il quale la previsione è calcolata Questo non dovrebbe essere ovvio, ma può essere facilmente dimostrare valutando una serie infinita Quindi, la semplice previsione media mobile tende a ritardo punti di svolta da circa 1 periodi ad esempio, quando 0 5 il ritardo è di 2 periodi in cui 0 2 il ritardo è di 5 periodi in cui 0 1 il ritardo è di 10 periodi, e così via. Per una determinata età cioè quantità media di ritardo, la semplice esponenziale previsione SES è un po 'superiore alla media mobile semplice SMA tempo perché pone relativamente più peso sulla più recente osservazione --ie è leggermente più reattivo ai cambiamenti che si verificano nel recente passato, ad esempio, un modello di SMA con 9 termini e un modello di SES con 0 2 entrambi hanno un'età media di 5 per i dati nella loro previsioni, ma il modello SES mette più peso sugli ultimi 3 valori che assume il modello SMA e allo stesso tempo doesn t dimenticare interamente sui valori più di 9 periodi vecchi, come mostrato in questa chart. Another importante vantaggio del modello SES sul modello SMA è che il modello SES utilizza un parametro smoothing che è continuamente variabile, in modo che possa facilmente ottimizzata utilizzando un algoritmo risolutore per minimizzare l'errore quadratico medio il valore ottimale di un modello SES per questo serie risulta essere 0 2961, come mostrato here. The età media dei dati in questa previsione è 1 0 2.961 3 4 periodi, che è simile a quella di un 6-termine mobile semplice average. The previsioni a lungo termine dal modello di SES sono una linea retta orizzontale, come nel modello SMA e il modello random walk senza crescita, tuttavia, notare che gli intervalli di confidenza calcolati da Statgraphics ora divergono in modo ragionevole dall'aspetto, e che sono sostanzialmente più stretto rispetto degli intervalli di confidenza per la modello random walk il modello SES presuppone che la serie è un po 'più prevedibile di quanto non faccia il random walk modello model. An SES è in realtà un caso particolare di un modello ARIMA così la teoria statistica dei modelli ARIMA fornisce una solida base per il calcolo intervalli di confidenza per la modello SES in particolare, un modello SES è un modello ARIMA con una differenza nonseasonal, termine MA 1, e nessun termine costante altrimenti noto come un modello ARIMA 0,1,1 senza costante il coefficiente MA 1 nel modello ARIMA corrisponde quantità 1- nel modello SES per esempio, se si forma un modello ARIMA 0,1,1 senza un costante alla serie analizzata qui, la stima coefficiente di MA 1 risulta essere 0 7029, che è quasi esattamente un meno 0 2961. è possibile aggiungere l'assunzione di una tendenza non-zero costante lineare per un modello SES per fare questo, basta specificare un modello ARIMA con una differenza nonseasonal e una durata MA 1 con una costante, cioè un modello ARIMA 0,1,1 con costante le previsioni a lungo termine avrà quindi una tendenza che è uguale al trend medio rilevato per l'intero periodo di stima non si può fare questo in collaborazione con destagionalizzazione, perché le opzioni di destagionalizzazione sono disattivati quando il tipo di modello è impostato su ARIMA Tuttavia, è possibile aggiungere una costante tendenza esponenziale a lungo termine per un semplice modello di livellamento esponenziale con o senza regolazione stagionale utilizzando l'opzione di regolazione inflazione nella procedura di previsione del tasso di crescita percentuale di inflazione appropriato per periodo può essere stimato come il coefficiente di pendenza in un modello di trend lineare montato i dati in combinazione con una trasformazione logaritmo naturale, oppure può essere basata su altre, informazioni indipendenti in materia di lungo termine le prospettive di crescita Ritorna all'inizio page. Brown s lineare cioè doppie modelli esponenziale Smoothing. The SMA e SES modelli assumono che non esiste una tendenza di qualsivoglia natura, i dati che di solito è OK o almeno non troppo male per previsioni 1-passo avanti quando i dati sono relativamente rumorosi, e possono essere modificati per incorporare un andamento lineare costante come indicato sopra cosa circa tendenze a breve termine Se una serie mostra un tasso variabile di crescita o un andamento ciclico che si distingue chiaramente contro il rumore, e se vi è la necessità di prevedere più di 1 periodo avanti, allora la stima di una tendenza locale potrebbe anche essere un problema il semplice modello di livellamento esponenziale può essere generalizzata per ottenere un esponenziale modello lineare LES che calcola le stime locali sia di livello e trend. The semplice modello di tendenza variabile nel tempo è Brown s modello di livellamento esponenziale lineare, che utilizza due diversi serie levigata che sono centrate in diversi punti nel tempo La formula di previsione si basa su un'estrapolazione di una linea attraverso i due centri di una versione più sofisticata di questo modello, Holt s, è discusso below. The forma algebrica del modello di livellamento esponenziale lineare Brown s , come quella del semplice modello di livellamento esponenziale, può essere espressa in un certo numero di forme diverse ma equivalenti la forma standard di questo modello è di solito espressa come segue sia S la serie singolarmente-levigata ottenuta applicando semplice livellamento esponenziale di serie Y che è il valore di S al periodo t è dato da. Ricordiamo che, in semplice livellamento esponenziale, questo sarebbe il tempo per Y al periodo t 1 Allora S la serie doppiamente levigata ottenuta applicando semplice livellamento esponenziale utilizzando la stessa di serie S. Finally, le previsioni per tk Y per qualsiasi k 1, è dato by. This produce e 1 0 vale a dire imbrogliare un po ', e lasciare che la prima previsione uguale l'attuale prima osservazione, ed e 2 Y 2 Y 1 dopo il quale le previsioni sono generati usando l'equazione precedente Questo produce gli stessi valori adattati come la formula basata su S e S se questi ultimi sono stati avviati utilizzando S 1 S 1 Y 1 Questa versione del modello è usato nella pagina successiva che illustra una combinazione di livellamento esponenziale con adjustment. Holt stagionale s lineare esponenziale Smoothing. Brown modello di s LES calcola stime locali di livello e l'andamento lisciando i dati recenti, ma il fatto che lo fa con un singolo parametro smoothing pone un vincolo sui modelli di dati che è in grado di adattare il livello e la tendenza non sono autorizzati a variare a tassi indipendenti Holt s modello LES risolve questo problema includendo due costanti di lisciatura, uno per il livello e uno per la tendenza in ogni momento t, come nel modello di Brown s, il vi è una stima L t del livello locale e una stima T t della tendenza locale Qui vengono calcolati ricorsivamente dal valore di Y osservata al tempo t e le stime precedenti del livello e l'andamento di due equazioni che si applicano livellamento esponenziale loro separately. If livello stimato e tendenza al tempo t - 1 sono L t 1 e T t-1, rispettivamente, la previsione per Y t che sarebbe stato fatto al tempo t-1 è uguale a L t-1 T t-1 Quando si osserva il valore effettivo, l'aggiornamento della stima il livello è calcolata in modo ricorsivo interpolando tra T Y e le sue previsioni, L t-1 T t-1, con pesi di cambiamento e 1. nel livello stimato, vale a dire L t L t 1 può essere interpretato come una misura rumorosa la tendenza al tempo t la stima aggiornata del trend viene poi calcolata in modo ricorsivo interpolando tra L t L t 1 e la stima precedente del trend, T T-1 con pesi di e 1. interpretazione del costante trend-smoothing è analoga a quella del livello-lisciatura modelli costanti con valori piccoli di assumere che la tendenza cambia solo molto lentamente nel tempo, mentre i modelli con grande presuppongono che sta cambiando più rapidamente un modello con una grande ritiene che il futuro lontano è molto incerta, perché gli errori in trend-stima diventano molto importanti quando la previsione più di un periodo avanti Ritorna all'inizio sinistra. L costanti levigatura e può essere stimato nel modo consueto minimizzando la media errore delle previsioni 1-step-squared avanti quando questo fatto in Statgraphics, le stime si rivelano 0 3048 e 0 008 il valore molto piccolo di mezzi che il modello assume molto poco cambiamento di tendenza da un periodo all'altro, in modo sostanzialmente questo modello sta cercando di stimare un trend di lungo periodo per analogia con la nozione di età media dei dati utilizzati nella stima del livello locale della serie, l'età media dei dati che viene utilizzato per stimare la tendenza locale è proporzionale a 1, anche se non esattamente uguale ad esso in questo caso risulta essere 1 0 006 125 questo isn ta numero molto preciso in quanto la precisione della stima del isn t realmente 3 decimali, ma è dello stesso ordine generale di grandezza della dimensione del campione di 100, così questo modello è una media di più di un sacco di storia nella stima della tendenza il grafico previsione mostra che il modello LES stima un leggermente maggiore tendenza locale alla fine della serie rispetto alla tendenza costante stimata nel modello tendenza SES Inoltre, il valore stimato di è quasi identico a quello ottenuto dal montaggio del modello di SES, con o senza tendenza, quindi questo è quasi la stessa model. Now, fare queste previsioni sembrano ragionevoli per un modello che dovrebbe essere stimare un trend locale Se si bulbo oculare questo trama, sembra che la tendenza locale si è trasformato in basso alla fine della serie Quello che è successo I parametri di questo modello sono stati stimati minimizzando l'errore quadratico delle previsioni 1-step-ahead, non previsioni a più lungo termine, in cui caso la tendenza doesn t fare un sacco di differenza Se tutti si sta guardando sono errori 1-step-avanti, non si è visto il quadro più ampio delle tendenze nel dire 10 o 20 periodi al fine di ottenere questo modello più in sintonia con la nostra estrapolazione bulbo oculare dei dati, siamo in grado di regolare manualmente la costante tendenza-smoothing in modo che utilizzi una base più breve per la stima tendenza ad esempio, se si sceglie di impostare 0 1, quindi l'età media dei dati utilizzati nella stima la tendenza locale è 10 periodi, il che significa che ci sono in media il trend su quella ultimi 20 periodi o giù di lì Qui è ciò la trama del tempo sembra che se impostiamo 0 1 mantenendo 0 3 questo sembra intuitivamente ragionevole per questa serie, anche se probabilmente è pericoloso estrapolare questa tendenza non più di 10 periodi nel future. What circa le statistiche di errore Ecco un confronto modello per i due modelli sopra indicati, nonché tre modelli SES il valore ottimale del modello SES è di circa 0 a 3, ma risultati simili con un po ' più o meno la reattività, rispettivamente, sono ottenuti con 0 5 0 e 2. Un Holt s levigante exp lineare con alfa e beta 0 3048 0 008 B Holt s levigante exp lineare con alfa e beta 3 0 0 1. C livellamento esponenziale semplice con alfa 0 5. D livellamento esponenziale semplice con alfa 0 3. E livellamento esponenziale semplice con alfa 0 2.Their statistiche sono quasi identiche, quindi abbiamo davvero può t fare la scelta sulla base di errori di previsione 1-step-avanti all'interno dei dati campione Dobbiamo ripiegare su altre considerazioni Se crediamo fermamente che ha senso basare la stima attuale tendenza su quanto è successo negli ultimi 20 periodi o giù di lì, siamo in grado di fare un caso per il modello LES con 0 3 e 0 1 Se vogliamo essere agnostici sul fatto che vi è una tendenza locale, poi uno dei modelli SES potrebbe essere più facile da spiegare e sarebbe anche dare più previsioni di medio-of-the-road per i prossimi 5 o 10 periodi di ritorno a inizio pagina. che tipo di trend-estrapolazione è migliore evidenza empirica orizzontale o lineare suggerisce che, se i dati sono già stati eventualmente rettificato per l'inflazione, allora può essere imprudente estrapolare tendenze lineari a breve termine molto lontano nelle tendenze future evidente oggi può allentare in futuro a causa di cause diverse quali obsolescenza dei prodotti, l'aumento della concorrenza, e flessioni cicliche o periodi di ripresa in un settore per questo motivo, semplice livellamento esponenziale spesso si comporta meglio out-of-sample che altrimenti potrebbe essere previsto, nonostante la sua tendenza orizzontale ingenuo modifiche estrapolazione di tendenza smorzato del modello esponenziale smoothing lineare sono spesso utilizzati in pratica per introdurre una nota di conservatorismo nelle sue proiezioni tendenziali la smorzata-tendenza modello LES può essere implementato come un caso particolare di un modello ARIMA, in particolare, un ARIMA 1 , 1,2 model. It è possibile calcolare gli intervalli di confidenza intorno previsioni a lungo termine prodotte da modelli di livellamento esponenziale, considerandoli come casi speciali di modelli ARIMA Attenzione non tutti i software calcola gli intervalli di confidenza per questi modelli correttamente La larghezza degli intervalli di confidenza dipende i l'errore RMS del modello, ii il tipo di levigatura semplice o lineare iii il valore s delle leviganti s costanti e iv il numero di periodi avanti si prevedono in generale, gli intervalli sparsi velocemente come diventa più grande nel modello di SES e si diffondono molto più velocemente quando lineare piuttosto che semplice levigatura viene utilizzato questo argomento è discusso ulteriormente nella sezione modelli ARIMA delle note Ritorna all'inizio pagina.
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